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Tippspiel Strategien (Teil 2) – Endspiel mit zwei Teilnehmern

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Endspiel Strategien (2 spieler mit Siegchancen)

Das optimale Verhalten in der letzten Tipp-Runde hängt stark von den aktuellen Punkteständen, der Anzahl der Mitspieler und der Information über das Verhalten der Mitspieler an.  Exemplarisch betrachten wir für zwei Spieler mit Siegchancen die folgenden Situationen:

  1. Vor dem Finale haben zwei Teilnehmer des Tippspiels die gleiche Punktzahl.
  2. Vor dem Finale hat der Führende einen Punkt Vorsprung vor dem Zweiten.

Alle anderen Teilnehmer haben keine Siegchancen mehr.

Der Übersichtlichkeit halber nehmen wir an, dass es nur eine begrenzte Anzahl an Spielausgängen gibt. Die aus den Wettquoten berechneten Wahrscheinlichkeiten (p0,p2,p3,p4) für 0,2,3 und 4 Tipppunkte sind in der folgenden Tabelle dargestellt. Hierbei sind die Wahrscheinlichkeiten p4 (richtiges Ergebnis) die impliziten Wahrscheinlichkeiten aus den Wettquoten.

Ergebnis
p0
p2
p3
p4
Erw. Punkte
1:037,2%18,6%18,6%25,6%1,954
2:137,2%18,6%25,6%18,6%1,884
2:037,2%44,2%0,0%18,6%1,628
0:162,8%8,1%12,2%16,9%1,204
1:262,8%8,1%16,9%12,2%1,157
0:262,8%29,1%0,0%8,1%0,906

“Erw. Punkte” gibt die durchschnittliche Tipp-Punktzahl an, wenn man das Spiel sehr häufig wiederholen würde.

 Zwei Teilnehmer haben die gleiche Punktzahl

Wenn zwei Teilnehmer vor dem letztem Tipp die gleiche Punktzahl haben, sei die Auszahlung wie folgt:

  • 100€  für Teilnehmer A wenn er mehr Punkte als Teilnehmer B erreicht (und umgekehrt)
  • 50€ für beide Teilnehmer, wenn beide die gleiche Punktzahl erreichen

Die folgende Tabelle gibt die erwarteten Auszahlungen für die beiden Teilnehmer abhängig von ihren abgegebenen Tipps an. Diese Tabelle kann man erstellen, in dem man für jede Strategiekombination von A und B und jeden Spielausgang die Punktzahlen und die Auszahlungen für A und B ermittelt und die mit der Wahrscheinlichkeit des Spielausgangs gewichteten Auszahlungen aufsummiert.

Tipp A / Tipp B
0:1
0:2
1:0
1:2
2:0
2:1
0:150:5060:4037:6352:4837:6337:63
0:240:6050:5037:6340:6037:6337:63
1:063:3763:3750:5063:3763:3754:46
1:248:5260:4037:6350:5037:6337:63
2:063:3763:3737:6363:3750:5037:63
2:163:3763:3746:5463:3763:3750:50

Es zeigt sich das erwartete Ergebnis. Ein 1:0 Tipp ist für beide eine dominante Strategie ist. Für jede Strategie von B erhält A bei einem 1:0 Tipp im Mittel den maximalen Betrag. Da die Situation für beide Teilnehmer symmetrisch ist, ist auch für Teilnehmer B der 1:0 Tipp der beste.  Wenn sich beide Spieler rational verhalten, erhalten beide mit Sicherheit 50€. Die Auszahlungssituation bei einem 2:1 ist allerdings nur unwesentlich schlechter. Wenn einer der Spieler eine Risikopräferenz hat, könnte er also auch diesen Tipp abgeben, um mit etwas weniger als 50% Wahrscheinlichkeit 100€ zu gewinnen und mit etwas mehr als 50% Wahrscheinlichkeit 0€ zu gewinnen.

 Ein TEILNEHMER HAT einen Punkt Vorsprung

Die Situation ändert sich komplett, wenn Teilnehmer A vor dem Finale einen Punkt Vorsprung hat. Es ist sofort klar, dass Teilnehmer B nicht gewinnen kann, wenn beide Spieler den gleichen Tipp (z.B. 1:0) abgeben. Um 50€ zu erhalten, muss Teilnehmer B einen Punkt mehr als A in der letzten Runde bekommen. Um 100€ zu erhalten braucht Teilnehmer B mindestes zwei Punkte mehr als A.

 
0:1
0:2
1:0
1:2
2:0
2:1
0:1100:092:837:6394:637:6337:63
0:277:23100:037:6379:2137:6337:63
1:063:3763:37100:063:3781:1991:9
1:292:892:837:63100:037:6337:63
2:063:3763:3765:3563:37100:069:31
2:163:3763:3787:1363:3781:19100:0

Die Situation ist vertrackt.  Wenn einer der Spieler mit Sicherheit eine Strategie spielen würde, kann der jeweils andere sich die bestmögliche aller Antworten aussuchen. Wie beim Pokerspiel ist Unberechenbarkeit Trumpf. Aus der Spieltheorie wissen wir, dass in solchen Fällen eine gemischte Strategie das optimale Verhalten ist. Man spielt die unterschiedlichen Strategien mit unterschiedlichen Wahrscheinlichkeiten.  Jeder Spieler berechnet die Wahrscheinlichkeiten dabei so, dass für jede Strategiewahl des Gegenspielers dessen Auszahlung im Mittel  dem gleichen Minimalwert entspricht. Für die Berechnung des sogenannten Nash-Gleichgewichts kann man auf frei verfügbare Programme zurückgreifen (z.B. Gambit). Das Ergebnis ist auf den ersten Blick erstaunlich. Die folgenden Grafik zeigt die optimale Unberechenbarkeit. Teilnehmer A spielt mit 33.1% Wahrscheinlichkeit weiterhin die  1:0 Strategie.  Teilnehmer B spielt mit 43,5% Wahrscheinlichkeit das unwahrscheinlichste Spielergebnis 0:2.

Die erwartete mittlere Auszahlung ist 72€ für Teilnehmer A und 28€ für Teilnehmer B,

game1Bei einem Tippspiel kann man nur einen Tipp abgeben. Wie verhält man sich in einem realen Tippspiel? Wenn man den Gegenspieler einschätzen kann, sollte man sich an einer Tabelle mit den mittleren Auszahlungsquoten orientieren. Wenn der andere Teilnehmer – rational – unberechenbar ist, sollte man selbst einen Zufallszahlengenerator entscheiden lassen.

Bei einer Punktdifferenz von zwei Punkten vor der letzten Runde steigt die erwartete Auszahlung für A auf 79€.

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